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一、总体安排

为强化学生的数学理论基础，了解数学最新的国际前沿方向，做好本研贯通培养，提升学生的原始创新能力，探花视频 将于2024年7月8日-7月20日组织国际暑期学校。

本次国际暑期学校面向探花视频 二年级、三年级本科生（含数学强基、数学双学位），邀请国内外知名学者，共开设5门短期课程和4场前沿讲座，涉及数论、代数几何、微分方程、人工智能等多个领域。

二、课程设置

1．短期课程5门

2. 前沿讲座4场

3. 日程表

三.课程简介

(K1) 模形式导引

周海港（同济大学）

课程简介：模形式是数论、代数几何和表示论等数学领域中的重要概念，是朗兰兹纲领的核心，具有丰富的数学内涵和广泛的应用。本课程旨在为本科生提供一个初步了解模形式的机会，从基础理论到实际应用，为学生打开这一领域的大门。主要内容包括：模形式的基础概念：介绍模形式的定义、性质和基本性质，包括模形式的变换规则；模形式的构造： Eisenstein级数和theta级数，以及它们之间的关系；模形式空间的结构: 模形式空间的维数公式；模形式与数论：探讨模形式与数论之间的深刻联系，包括模形式在数论中的应用，如平方和问题、Fermat大定理的证明和椭圆曲线的模形式证明。

先修要求：数学分析，高等代数，复分析。

(K2) 人工智能中的算法与数学

郑宁（同济大学）

课程简介：

第一讲：如何识别手写数字——从经典Cauchy-Schwarz不等式开始

Cauchy-Schwarz不等式是一个非常经典且应用广泛的不等式，在线性代数，数学分析，概率论等领域均有对应的形式。我们从Cauchy-Schwarz不等式最基础的形式出发，逐步认识离散卷积运算的概念，进而阐释为何卷积可以用于图像特征的识别和提取。在MNIST手写数字数据库中，我们利用上述结论来展示机器学习中卷积网络的重要意义。

第二讲：人脸图像识别的数学模型和算法(上)

从上一讲的手写数字特征识别，我们逐步过渡到图像特征识别。我们学习基于特征矩阵的非负矩阵分解模型，以及其数学理论。

第三讲：人脸图像识别的数学模型和算法(下)

基于非负矩阵分解模型的优化算法，包括交替方向法，块Gauss-Seidel方法。

第四讲：图像特征修复和补全的数学理论

第五讲：监督学习中的曲线拟合，数据回归和正则化

先修要求：向量，矩阵

参考书目：Steven L. Brunton, J. Nathan Kutz, Data-driven science and engineering: machine learning, dynamical systems and control, 2019, Cambridge, Cambridge University Press.

(K3) Geometry and Topology of Complex Projective Hypersurfaces and of Their Complements

张希平/Laurentiu Maxim（同济大学/美国威斯康星麦迪逊大学）

课程简介：A projective hypersurface is the zero locus of a homogeneous equation, in some projective space. Such objects are of central importance in complex and algebraic geometry, and have been intensely studied in the past decades. Yet there are still many open problems, especially when the hypersurface is singular.

In this lecture series we will mainly discuss the topology of complex projective hypersurfaces. In particular we will focus on how the presence of singularities affects the geometry and topology of such hypersurfaces, and their complements

课程安排：

第一周（张希平）

Lecture I: Introduction to Homology and cohomology Theory (I)

Lecture II: Introduction to Homology and cohomology Theory (II)

Lecture III: Introduction to Poincar\’e Duality

第二周（Laurentiu Maxim）

Lecture I:

1. Review of Milnor fibration. Basic computations.

2. Relation between the topology of projective hypersurfaces and the Milnor fibration.

3. Lefschetz theorem.

Lecture II:

1. Topology of smooth complex projective hypersurfaces: diffeomorphism types, Euler characteristic, integral (co)homology, examples.

2. Kato’s theorem: Integral (co)homology of projective hypersurfaces (except in the range depending on the dimension of singular locus).

Lecture III:

1. Introduce vanishing cycles for a family of complex projective hypersurfaces: vanishing (co)homology, specialization.

2. Applications to the calculation of the Euler characteristic of an arbitrary complex projective hypersurface, Examples.

Lecture IV:

1. Vanishing cohomology and applications: integral (co)homology of projective hypersurfaces (in the range not covered by Kato and Lefschetz theorems), Betti numbers

2. Sample computations via stratifications; sharpness of the above estimates.

Lecture V:

1. Supplement to Lefschetz’s hyperplane theorem (with a dependence of singularities)

2. Applications to Kato’s theorem. Examples.

参考书目:

[1] A. Dimca: “Singularities and topology of hypersurfaces”; Universitext. Springer-Verlag, New York, 1992

[2] A. Dimca: “Singularities and topology of hypersurfaces”; Universitext. Springer-Verlag, New York, 1992

[3] A. Hatcher: “Algebraic Topology”

[4] L. Maxim: “Intersection Homology & Perverse Sheaves, with Applications to Singularities” (Chapter X)

[5] L. Maxim: “Notes on vanishing cycles and applications”; Journal of the Australian Mathematical Society 109 (2020), no. 3, 371-415.

[6] L. Maxim, L. Paunescu, M. Tibar: “Vanishing cohomology and Betti bounds for complex projective hypersurfaces”; Annales de l’Institut Fourier, 72 (2022) no. 4, pp. 1705–1731.

[7] L. Maxim: “On the topology of complex projective hypersurfaces”; Research in the Mathematical Sciences 11 (2024), Paper no. 14.

先修要求：基础代数拓扑：覆盖空间，同伦群；抽象代数：群论，环论;线性代数

(K4) 火阻问题和哈密尔顿·雅可比障碍问题

Stefano Bianchini（意大利高等研究学院）

课程简介：火阻问题作为一个动态阻挡问题，可以用一个集合在平面上的增长来描述。为了抑制其扩张，假设障碍可以实时构建。这里主要关注的问题是：

(1)集合的增长是否最终会被阻止;

(2)障碍的最佳位置是什么，从而最小化成本标准。

该问题部分来源于森林大火的最优控制问题，在这门课，我将讲解如下与控制问题相关的两个数学问题:

(i)阻碍屏障的存在性；

(ii)最优解的存在性

课程大纲：课程将分成如下几个部分：

(1)动态阻挡问题模型简介;

(2)相关几何测度理论简要介绍;

(3)阻挡成功策略的存在性;

(4)最优策略的存在性;

(5)最新进展介绍和一些公开问题。

先修课程：数学分析，实变函数论（测度论），常微分方程，最优化理论（非必要）。

(K5) 双曲平衡律系统选讲

Laura Caravenna（意大利帕多瓦大学）

课程简介:该课程主要介绍一类非常重要的一阶非线性双曲型偏微分方程——双曲平衡律方程。物理和工程中非常重要的流体力学，交通流模型和非线性光学等所涉及的方程都是双曲守恒平衡律形式。我们试图从最基本的模型和经典解的定义出发，讲述双曲平衡律系统最重要的一个特点——解的强烈非正则性，由此引出弱解的定义的必要性。基础理论方面，我们还会讲到特征线方法，解的适定性，黎曼问题和欧拉解和拉格朗日解的联系。

课程安排:

1.一维守恒和平衡定律的定义，输运方程。无粘性不可压缩流体局部守恒定律的宏观推导及Burgers方程的例子。介绍Navier-Stokes和Euler方程。

2.光滑解（经典解）：特征线方法，光滑解及其最大存在时间；介绍一点交通流的LWR模型。

3.弱解的定义。研究不连续解的动机。弱解的定义。光滑解解和弱解之间的关系。柯西问题的应用和定性理论。L^1范数下解的爆破机制，Rankine-Hugoniot条件的必要性。分片Lipschitz解的刻画。

4.唯一性和可容许性准则：柯西问题的非唯一性。容许性准则导论。消失粘性解和熵解的定义。关于熵-熵通量对和Kruzhkov熵的练习。柯西问题的Kruzhkov稳定性定理及其唯一性的推论。

5.黎曼问题的解：光滑凸/凹通量的情形。分段仿射凸/凹通量的情况。熵容许解的时间不可逆性。

6.关于平衡律的欧拉解和拉格朗日解之间关系的讨论。

先修课程：数学分析，实变函数论，常微分方程基本理论，数理方程（非必要）

(J4) Control on Networks: Modeling, Learning and Applications

Yue Wang（德国埃尔朗根-纽伦堡大学）

摘要 Control of networks of hyperbolic systems is crucial in various applications, including gas networks, flexible multi-body systems, and water networks. The first part of this talk introduces the modeling, analysis, and controllability properties of networked 1D hyperbolic systems based on recent results obtained by the speaker and her collaborators. Recent numerical experiments using Physics-Informed Neural Networks (PINNs) reveal intriguing possibilities for future research at the intersection of control and machine learning. However, solving such optimal control problems can be computationally demanding, especially when the network is large or contains loops. So in the second part of this talk, new convergence results for the simulation and optimal control of 1D hyperbolic systems using the Random Batch Method (RBM) will be presented. The RBM is a recently proposed randomized operator-splitting technique inspired by the success of stochastic algorithms in machine learning [Shi Jin, Lei Li, Jian-Guo Liu, J. of Comp. Phys., 2020]. The results presented in this talk represent the first extension of the analysis for finite-dimensional optimal control problems in [Veldman, Zuazua, Numer. Math., 2022] to hyperbolic partial differential equations. A numerical example for a network with loops demonstrates that the proposed method significantly reduces computational costs.